站在数学的阴影里
　　何宗焕
　　也许我们还只能算是数学的门外汉，因为我们还远未窥见数学的堂奥。数学是那么高深又那么浅近，那么精巧又那么朴实，数学离我们那么远又那么近。多年以来，我们站在数学的门槛之外，遥望着自然科学宫殿里这位美艳绝伦的皇后，在她摇曳多姿的身影里仰望、徘徊、猜测……
　　 一、数学需要想像吗？
　　 我们的回答是肯定的。这个肯定的回答当然不是我们的首创。只要稍稍回顾一下科学发展史，在欧洲的文艺复兴时期——这个“需要巨人且产生了巨人的时代”（恩格斯语），正是牛顿、笛卡尔、莱布尼茨这些巨人们为数学插上想像的翅膀，才开启了现代数学广阔灿烂的前景。微积分、极限论、集合论无不包含数学家们天才的想像。经典几何学就是典型的想像的产物。可以说，没有想像，就不会有数学的发展和进步。
　　 我们的话题可能扯得太远了一点，虽然并没有远离数学，但已经远离了现实中的数学课堂。还是来看看我们的数学课堂吧。课堂上，我们的老师总是希望能解决学生的所有问题，因此，下课前，几乎每一个老师都会问同一个问题：“同学们都听懂了吗？还有问题吗？”当得到肯定回答或是没有回答（意味着学生默认没有问题了）时，老师才会满意地离开教室。学生没有问题走进教室，没有问题离开教室。没有问题成了数学教学追求的目标。
　　 问题都没有了，还需要想像干什么？可是，真的没有问题了吗？老师真的能解决所有问题吗？这很值得怀疑。难道我们就不能允许学生保留一些问题？我们为什么不能鼓励学生在没有问题的地方发现问题呢？古人说：“有疑则思。”创造始于问题，有了问题才会思考，有了思考，才有发现，才有找到独立思路的可能。从这一点看来，我们的数学课堂已经远离了数学的本质。
　　 也许有人会反问：1+1=2，难道你要学生想像成等于0，等于1，或是等于3吗？这岂不是荒谬可笑！且不说荒谬中可能蕴藏着真理，荒谬中也有引人入胜的一面，一个不能成立的命题能够证明它的荒谬不是也很有价值吗！
　　 恩格斯在《自然辩证法》中说：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”没有想像，哪里来的假设呢？他还举例说：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了（着重号为作者所加）。”因为微积分正是数学家们展开想像的翅膀的伟大发现。因此，恩格斯进一步指出：“自然界对这一切想像的数量都提供了原型。”
　　 有人对小说家王蒙说：“最高的诗是数学。”很多人觉得言之莫明其妙，王蒙却说：“我相信他说得极妙，我可以感觉他的论述，却无法充分解释它。我感觉最高的数学和最高的诗一样，都充满了想像，充满了智慧，充满了创造，充满了章法，充满了和谐也充满了挑战。诗和数学又都充满了灵感，充满激情，充满人类的精神力量。那些从诗中体验到数学的诗人是好诗人，那些从数学中体会到诗意的数学家是好数学家。”（王蒙《我的人生自述》）
　　 这是智者的声音。我们的数学老师也许真的要补一补诗歌这一课了。
　　 二、数学的确定性在哪里？
　　 但首先是，有没有确定性。
　　 这似乎毫无疑问。譬如三角形有三条边，谁也不会说三角形也许有三条边，也许有十五条边；又譬如8÷4，如果有谁说8÷4好像等于2，我们会怎么想呢？数学的确定性似乎是确定无疑的了。
　　 数学的确定性使我们相信任何一个数学问题都有确定的唯一的解（答案），求证或者求解是数学的终极目的，不能求证或者不能求解，尤其是没有求得确定的解，是解题的失败。培根说：“数学使人周密。”似乎更进一步印证了数学的确定性。令人困惑的是，这种对确定性的严重误解常常发生在中小学课堂里，老师们背离数学本质的理解和作法，甚至产生了一些似是而非的观点。当我们无法求证或者求解时，我们会说，数学真难，并进而认为，也许数学是需要天才的学科，数学思想是权威和奇才的产物，没有特殊的才能不能学好数学。老师们不经意的暗示让学生相信：数学是准确的、精确的、精密的，数学只需要逻辑思维，而从来不需要形象思维。也正因为如此，所以数学拒绝直觉。这就是我们长期以来的观点。这种观点使不少人在数学的殿堂前望而却步，很多有数学潜质的人被拒之于数学的门外。
　　 可是在美国，数学的确定性正在受到深刻的怀疑。美国数学家克莱因甚至说：“数学家本人并不是用严格的逻辑推理进行思考，而是用想像进行工作。”想像是直觉的，它与确定性之间有一条看不见的鸿沟。
　　 美国人认为，数学是一门充满活力的科学，它寻求我们周围的物质世界与我们内部的精神世界的理解模式。在美国的中小学，老师和学生都把努力的焦点放在：（一）寻求问题的解法，而不仅是记住过程；（二）探索模式，而不仅是学习公式；（三）形成猜测，而不仅是做练习（《人人关心数学教育的未来》）。
　　 数学可以猜测，多么有意思的说法。其实，如果我们不是追求僵化的、绝对的、封闭的数学模式，而是追求探索的、动态的、发展的数学方法，不是把数学看作纯粹书本上的精致的数学，而是把数学与我们的生活实际结合起来，我们会发现，“猜测”是多么有用、多么重要的数学方法。
　　如此看来，数学的确定性正在丧失。
　　其实，确定与不确定都是相对的，正所谓“自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬，自其不变者而观之，则物与我皆无尽也（苏轼语）”。关键是我们的思维、观念和心态，不能因确定而变得僵化、顽固。
　　猜测就是不确定中的确定。猜测（还有估计）是笼统的、概数的、模糊的、直觉的，猜测让我们的思维更敏锐，猜测让我们对数、对与计算有关的问题更敏感，猜测要求我们更重视观察。当我们面对一个不确定的数值时，我们往往会通过估计的形式来运用它，我们不会强求确定。圆周率就是一个典型的不确定数，千百年来，没有因为它的不确定而影响人们的计算、制作和建造，中国古代的匠人甚至只取3作为圆周率的近似值，同样没有影响他们制作精巧的圆形器具，如谷仓、木斗、水桶等。事实上，在工作和生活中，我们从来没有离开过对不确定的应用，对距离、体积、重量、成本，我们不是常常使用估计的手段么？对企业和政府的管理者决策者来说，对成本的估计尤其重要。
　　 当美国人说“在某种意义上，每个人都是数学家”时，他们已经把数学意识看作每个人最基本的素质，个人的数学素质将直接影响他的选择和决策，关系到他的工作成效。在我们周围，一些官员不计成本，盲目决策，造成巨大的经济损失，追根究底，能说与他们在学校里没有培养良好的数学素质无关吗？从这个意义上说应该把我们的官员培养成“数学家”。
　　 三、抓住数学的机会
　　 美国人对数学的重视值得我们学习。从小学到中学，到大学，再到研究生教育，数学始终是美国学校教育最重要的学科。美国人说：“要让美国继续保持世界上的领先地位，就必须加强数学教育。”
　　 我们的教育当然不必唯美国的马首是瞻。但是，还在上世纪80年代，美国人就把数学看作是打开机会大门的钥匙，认为数学是机遇和职业的关键，因为今天的世界比昨天的世界需要更多的数学，明天的世界又比今天的世界需要更多的数学，因而人们在今天比以往任何时候都更需要数学地思考，并且指出，现代社会，每个人都依赖于数学教育的成功。（《人人关心数学教育的未来》）这些观点是不是很有警醒意义，是不是很能发人深省？
　　 事实上，直到今天，我们的数学教育还没有上升到应有的地位，且不说在大学里，数学专业在日渐萎缩，报考数学专业的人数在日益下降，数学不被人看好，因为学数学并不一定能找到好工作。即便是对数学给予的机会，我们也没有很好地把握。
　　 当然，这里首先是我们没有很好地清醒地认识数学的机会。数学究竟能给我们提供哪些机会呢？在机会主义者和功利主义者眼中，数学的机会是如此渺茫，在理想主义者和现实主义者那里，我们仍没有找到打开机会大门的钥匙。
　　恩格斯在谈到微积分时说：“数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明。”（《自然辩证法》）正如数学的无限一样，数学的机会也是无限的，但这些机会不能从纯粹数学知识中去找，要从现实中去找。非常遗憾的是，浮躁的学术界虽然炮制了无数的硕士和博士论文，却没有谁愿意去论证和寻找数学的机会。使得数学的机会的大门仍然紧闭着。
　　 有人把数学分成五个层次：实用的数学——为每个人的生活服务；公民的数学——理解公共政策；专业的数学——从事数学研究；消遣的数学——用于博彩和游戏（棋牌）；文化的数学——人类重要的文化遗产。每个层次的价值显然不同，但每个层次都显露出数学的独特的机会。这种划分是否科学估且不论，在寻找数学的机会方面，这种探索显然是有益的。
　　 机会稍纵即逝。如果我们不能把握数学的机会，机会就会远离我们。我们怎么去发现并抓住数学的机会呢？